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O Exército israelense lançou uma operação nesta segunda-feira contra a maior instalação hospitalar de Gaza, Al Shifa. As Forças de Defesa 💶 Israelenses (IDF) alegaram que "terroristas seniores do Hamas" estavam usando a instalação para “conduzir e promover atividades terroristas”. Mais tarde, 💶 segunda-feira passada. O IDF ordenou que moradores e pessoas deslocadas perto do complexo médico no norte de Gaza se retirassem para 💶 o chamado "zona humanitária" mais ao sul. No entanto, esses avisos vieram depois da hospitalização já ter sido sitiada ”, 💶 segundo uma testemunha O Ministério da Saúde de Gaza disse que cerca 3 mil pessoas estavam dentro do Al-Shifa buscando refúgio 💶 e aqueles tentando sair foram alvo por atiradores furtivos, além dos disparos com helicópteros. Hamas acusou Israel "sem levar ganhar dinheiro de verdade jogando 💶 conta" os alvos atingidores para pacientes ou pessoal médico no interior - uma reivindicação ecoada pelas populações locais na área 💶 complexa [7] "Veículos militares estão atirando contra as janelas dos edifícios hospitalares, e para qualquer um que é pego se movendo 💶 entre os corredores", disse Hamada Abdelhadi. O direito internacional proíbe o acesso a hospitais ganhar dinheiro de verdade jogando tempo de guerra, mas esses padrões 💶 mudam se os combatentes inimigos estiverem usando as instalações para atacar um inimigo. O IDF disse que iria "agir de acordo 💶 com o direito internacional" e instruiu as tropas sobre a importância da operação cautelosa, bem como nas medidas para evitar 💶 danos aos pacientes. As testemunhas oculares descreveram cenas caóticas dentro e ao redor do complexo. A filmagem de cerca um quilômetro 💶 (cerca,62 milhas) longe da Al-Shifa mostra seu impacto na área mais ampla com pessoas feridas ganhar dinheiro de verdade jogando meio aos escombros; corpos 💶 sendo retirado dos destroços
transmitidos pela Al Jazeera mostraram enormes nuvens de fumaça dos ataques aéreos nas proximidades do hospital, 💶 com ruas próximas cobertas pelo pó e detritos bombardeados por edifícios. Em um
as pessoas podiam ser vistas freneticamente 💶 passando pelos escombros para desenterrar o corpo aparentemente sem vida da jovem vítima; outro mostrou famílias correndo aterrorizadas após uma 💶 greve ensurdecedora ganhar dinheiro de verdade jogando mísseis ndia
Uma testemunha que vive nas proximidades da cidade de Gaza disse ter visto "uma grande invasão 💶 dos tanques" ganhar dinheiro de verdade jogando direção à Al-Shifa.
Abdelhadi, o homem que se abriga na Al-Shifa disse à Reuters ganhar dinheiro de verdade jogando um comunicado divulgado 💶 pela agência de notícias estatal norte americana (AFP), afirmou ainda ter dito: “De repente” às 2:38 da manhã.
"As pessoas que 💶 estavam no hospital foram atiradas contra. Algumas morreram, outras ficaram feridas e os corpos mortos ou feridos são retirados pelas 💶 forças israelenses", disse ele ao telefone por meio de um comunicado à imprensa local sobre o acidente."
A Al Jazeera disse 💶 ganhar dinheiro de verdade jogando um comunicado que Ismail al-Ghoul e ganhar dinheiro de verdade jogando equipe foram detidos, "severamente espancados" antes de serem levados para uma localização 💶 não revelada.
Abdelhadi disse que veículos militares israelenses e tratores estavam "demolindo"
As forças israelenses e os hospitais usaram alto-falantes para ordenar 💶 que as pessoas ficassem dentro dos corredores, mas aqueles se deslocavam entre corredoras arriscando ser atingido.
"Os gritos de mulheres e 💶 crianças não pararam. Com cada escudo da artilharia que é disparado, há mais gritando", disse ele ”.
O bombardeio ainda estava 💶 ganhar dinheiro de verdade jogando andamento na tarde de segunda-feira, segundo Abdelhadi.
Um médico ganhar dinheiro de verdade jogando cena, Abdullah Mohammed disse na tarde de segunda-feira que o 💶 prédio cirúrgico da Al Shifa estava pegando fogo depois do ataque com mísseis israelenses.
"Todos dentro deste edifício passaram por grandes 💶 operações e não podem se mover do lugar", escreveu Mohammed no Twitter.
A Organização Mundial da Saúde (OMS) está "terrivelmente preocupada" 💶 com a situação lá, de acordo como o diretor-geral Tedros Adhanom Ghebreyesus que disse ganhar dinheiro de verdade jogando um post na segunda feira 💶 X: “hospitais nunca devem ser campos. ”
A Al-Shifa tornou brevemente o epicentro do conflito.
mais cedo na guerra entre Israel e 💶 Hamas.Israel acusou o Hamás de operar aquilo que chamou um centro do comando ganhar dinheiro de verdade jogando túneis sob a instalação hospitalar, uma 💶 acusação negada pelo grupo ganhar dinheiro de verdade jogando novembro passado israelense realizou aquela operação "precisa" no complexo mas seu edifício principal foi fortemente 💶 danificado por danos graves para deixar efetivamente funcionar com médicos trabalhando à luz das velas envolvendo bebês prematuros numa folha 💶 pra mantê-los vivos; Dezenas deles morreram devido ao relatório da falta elétrica Novembro
Enquanto os Estados Unidos apoiaram a afirmação de 💶 Israel que o Hamas operava sob Al-Shifa e as IDF trouxeram jornalistas - incluindo uma equipe – para verem eles 💶 mesmos, não há dúvida alguma sobre se havia um centro do Hamás embaixo dos hospitais.
Os palestinos disseram que os combates 💶 ganhar dinheiro de verdade jogando torno da Al-Shifa demonstram o desrespeito de Israel pela vida civil na Faixa, enquanto israelenses apontam para isso como 💶 um exemplo do uso pelo Hamas dos civis.
Durante a primeira rodada de combates ganhar dinheiro de verdade jogando Al-Shifa, Israel pediu aos moradores do 💶 norte da Faixa para irem ao sul buscar refúgio.
Os que permaneceram agora enfrentam uma crise humanitária terrível ganhar dinheiro de verdade jogando Gaza, onde 💶 as pessoas estão morrendo de fome devido à guerra e falta da ajuda. Autoridades israelenses têm dito repetidamente a questão 💶 na entrega do auxílio não foi por Israel bloquear o acesso dos caminhões para Faixas!
"A velocidade com que esta crise 💶 de fome e desnutrição provocada pelo homem atravessou Gaza é aterrorizante", disse a diretora executiva do Programa Mundial da Alimentação, 💶 Cindy McCain.
Um relatório compilado por vários governos e organizações humanitárias divulgado na segunda-feira descobriu que uma fome no norte de 💶 Gaza é “iminente”.
O secretário-geral da ONU, António Guterres disse que as descobertas mostram agora Gaza tem "o maior número de 💶 pessoas enfrentando fome catastrófica já registrada... ganhar dinheiro de verdade jogando qualquer lugar e a partir daí".
"Este é um desastre totalmente causado pelo homem 💶 - e o relatório deixa claro que pode ser interrompido", disse Guterres a repórteres.
Mas a vida é pouco melhor para 💶 os habitantes de Gaza que fugiram do sul. A maioria deles – cerca da 1,4 milhão pessoas - agora está 💶 amontoada ganhar dinheiro de verdade jogando uma cidade tenda extensa embalada contra o limite egípcio, no Rafah único espaço nominalmente seguro deixado na 💶 enclave disputadas e teme-se há montagem duma ofensiva iminente!
O gabinete do primeiro-ministro israelense, Benjamin Netanyahu disse na sexta que aprovou 💶 planos para uma incursão terrestre ganhar dinheiro de verdade jogando Rafah apesar da oposição internacional.
O chefe de ajuda humanitária da ONU, Martin Griffiths alertou 💶 no mês passado que tal ofensiva poderia levar a "um massacre". Israel pretende transferir palestinos deslocados do Rafah para os" 💶 enclaves humanitárioS' ganhar dinheiro de verdade jogando Gaza antes mesmo dos ataques", disse o porta-voz das IDF Contra Alte Daniel Hagari aos jornalistas na 💶 quarta.
Amir Tal, Mostafa Salem e Joshua Berlinger da ganhar dinheiro de verdade jogando contribuíram para este relatório.
Correção: Uma versão anterior deste artigo 💶 citou uma estimativa do Ministério da Saúde de Gaza que 30.000 pessoas estavam abrigadas na Al-Shifa. O ministério diz ter 💶 cometido um erro tipográfico ganhar dinheiro de verdade jogando ganhar dinheiro de verdade jogando avaliação e pretendia dizer 3.000
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Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos ♣️ passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa. Em particular, um martingale é uma sequência ♣️ de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança ♣️ do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente ♣️ observados.[1] O movimento browniano parado é um exemplo de martingale. Ele pode modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade ♣️ de falência. Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode ♣️ ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte. 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O conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por ♣️ Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse dado este nome. [5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 ♣️ por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales contínuos. [7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por ♣️ Joseph Leo Doob, entre outros. [8] Parte da motivação daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9] Uma definição ♣️ básica de um martingale de tempo discreto diz que ele é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis ♣️ aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , ... {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},... } de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo ♣️ n {\displaystyle n} , E ( | X n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty } E ( ♣️ X n + 1 ∣ X 1 , . . . , X n ) = X n . {\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid ♣️ X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.} Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente ♣️ observação.[10] Sequências martingale em relação a outra sequência [ editar | editar código-fonte ] Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y ♣️ 2 , Y 3 , ... {\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},... } é considerada um martingale em relação a outra sequência X 1 , X ♣️ 2 , X 3 , ... {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},... } se, para todo n {\displaystyle n} , E ( | Y n | ) ♣️ < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty } E ( Y n + 1 ∣ X 1 , . . . , ♣️ X n ) = Y n . {\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.} Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em ♣️ relação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo ♣️ t {\displaystyle t} , E ( | Y t | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty } E ( ♣️ Y t ∣ { X τ , τ ≤ s } ) = Y s ∀ s ≤ t . {\displaystyle ♣️ \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.} Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de ♣️ qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é ♣️ igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ). Em geral, um processo ♣️ estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times \Omega \to S} é um martingale em relação a uma ♣️ filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade P {\displaystyle P} se Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de ♣️ probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega ,\Sigma ,P} espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ ♣️ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma ♣️ _{\tau }} função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ ♣️ t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)} E P ( | Y t | ) < + ∞ ♣️ ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;} Para todo s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) ♣️ = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do ♣️ evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ ♣️ s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 ♣️ ] É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual ♣️ os valores esperados são assumidos). É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em relação a uma medida, mas não ♣️ em relação a outra. O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo ♣️ de Itō é um martingale.[12] Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ] Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número ♣️ de dimensões) é um exemplo de martingale. O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta ♣️ com que ele se envolver forem honestos. Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores. A cada iteração, ♣️ uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor. Para qualquer cor dada, a fração ♣️ das bolas na urna com aquela cor é um martingale. Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda ♣️ que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo ♣️ fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo ♣️ número de bolas não vermelhas alteraria. Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n} moeda honesta foi ♣️ jogada Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : ♣️ n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda ♣️ for jogada. raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada. No caso de um martingale de Moivre, suponha que ♣️ a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} X n ♣️ + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -} Y n = ( ♣️ q / p ) X n . {\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.} Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ♣️ ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,... \}} E [ ♣️ Y n + 1 ∣ X 1 , . . . , X n ] = p ( q / p ) ♣️ X n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / ♣️ p ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p ♣️ ) X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X ♣️ n = ( q / p ) X n = Y n . {\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}} No teste de razão de ♣️ verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , ♣️ ... , X n {\displaystyle X_{1},... ,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}} Y n = ∏ i = 1 n ♣️ g ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}} Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} ♣️ g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X ♣️ n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Suponha que uma ameba se divide em duas ♣️ amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n ♣️ = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então { r X n ♣️ : n = 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}} é um martingale em relação a { ♣️ X n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Uma série martingale criada por software. Em uma ♣️ comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o ♣️ número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto ♣️ como uma sequência de variáveis aleatórias. Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia. Se { ♣️ N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { ♣️ N t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}} Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas ♣️ [ editar | editar código-fonte ] Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação ♣️ atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | ♣️ X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},... ,X_{n}]} , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior ♣️ à expectativa condicional. Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o ♣️ estudo das funções harmônicas. [15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X ♣️ τ : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall ♣️ s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta ♣️ f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace. Dado um processo de movimento browniano W t ♣️ {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} ♣️ também é um martingale. Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , ♣️ . . . {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a E [ X n + 1 | X 1 , . . . , X ♣️ n ] ≥ X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}. } Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E ♣️ [ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t ♣️ . {\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ ♣️ f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n ♣️ {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} De forma análoga, ♣️ um supermartingale de tempo discreto satisfaz a E [ X n + 1 | X 1 , . . . , X n ♣️ ] ≤ X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}. } Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ ♣️ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t . {\displaystyle ♣️ {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ♣️ ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle ♣️ X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} Exemplos de submartingales e ♣️ supermartingales [ editar | editar código-fonte ] Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale. Reciprocamente, todo processo estocástico que é ♣️ tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale. Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara ♣️ e perde $1 quando a moeda der coroa. Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara ♣️ com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / ♣️ 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Uma função convexa de um martingale é um submartingale ♣️ pela desigualdade de Jensen. Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale ♣️ (o que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n} Martingales e tempos de parada ♣️ [ editar | editar código-fonte ] Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , ♣️ X 2 , X 3 , ... {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},... } é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de ♣️ que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau ♣️ =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ... , X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} ♣️ . A intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência ♣️ até o momento e dizer se é hora de parar. Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que ♣️ um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele ♣️ pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com ♣️ base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16] Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se ♣️ apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X ♣️ t + 1 , X t + 2 , ... {\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},... } , mas não que isto seja completamente determinado pelo ♣️ histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} . Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no ♣️ parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados. Uma ♣️ das propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale ♣️ e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) ♣️ t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle ♣️ X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale. O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, ♣️ incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale ♣️ em um tempo de parada é igual ao seu valor inicial. Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de ♣️ jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas ♣️ o evento atual importa. Em particular, um martingale é uma sequência de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o ♣️ qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente ♣️ observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente observados.[1] O movimento browniano parado é um exemplo de martingale. Ele pode ♣️ modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade de falência. Em contraste, em um processo que não é um ♣️ martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo ♣️ seguinte. Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir ♣️ a incerteza sobre os eventos futuros. Assim, o valor esperado do próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de ♣️ todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o do presente evento se uma estratégia de ganho for usada. Martingales ♣️ excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos. É ♣️ também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações perdidas. Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim ♣️ sucessivamente, até o acerto. Martingale é o sistema de apostas mais comum na roleta. A popularidade deste sistema se deve à ganhar dinheiro de verdade jogando ♣️ simplicidade e acessibilidade. O jogo Martingale dá a impressão enganosa de vitórias rápidas e fáceis. A essência do sistema de jogo da ♣️ roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": ♣️ fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você perder, dobramos e apostamos $ 2. Se perdermos na roleta, perderemos ♣️ a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 1) de $ 3.4, por exemplo. duas apostas ganham (1 + ♣️ 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de $ 1 na roleta. Se você perder uma segunda vez na ♣️ roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4). Se ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + ♣️ 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino ♣️ [2]. Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de estratégias de aposta popular na França do século XVIII. [3][4] A ♣️ mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em que o apostador ganhava se a moeda desse cara e ♣️ perdia se a moeda desse coroa. A estratégia fazia o apostador dobrar ganhar dinheiro de verdade jogando aposta depois de cada derrota a fim de ♣️ que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além de um lucro igual à primeira aposta. Conforme o dinheiro e ♣️ o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, ♣️ o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como algo certo. Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os ♣️ apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das ♣️ razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites ♣️ às apostas). Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos. O ♣️ conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse ♣️ dado este nome. [5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales ♣️ contínuos. [7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por Joseph Leo Doob, entre outros. [8] Parte da motivação daquele trabalho ♣️ era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9] Uma definição básica de um martingale de tempo discreto diz que ele ♣️ é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , ♣️ ... {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},... } de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo n {\displaystyle n} , E ( | X n | ) ♣️ < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty } E ( X n + 1 ∣ X 1 , . . . , ♣️ X n ) = X n . {\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.} Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, ♣️ dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente observação.[10] Sequências martingale em relação a outra sequência [ editar | ♣️ editar código-fonte ] Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 2 , Y 3 , ... {\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},... } é considerada um ♣️ martingale em relação a outra sequência X 1 , X 2 , X 3 , ... {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},... } se, para todo ♣️ n {\displaystyle n} , E ( | Y n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty } E ( ♣️ Y n + 1 ∣ X 1 , . . . , X n ) = Y n . {\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid ♣️ X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.} Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em relação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um ♣️ processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo t {\displaystyle t} , E ( | Y t | ) ♣️ < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty } E ( Y t ∣ { X τ , τ ≤ s ♣️ } ) = Y s ∀ s ≤ t . {\displaystyle \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.} Isto ♣️ expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas ♣️ as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que ♣️ s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ). Em geral, um processo estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times ♣️ \Omega \to S} é um martingale em relação a uma filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade ♣️ P {\displaystyle P} se Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega ♣️ ,\Sigma ,P} espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} ♣️ Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma _{\tau }} função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t ♣️ {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)} E ♣️ P ( | Y t | ) < + ∞ ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;} Para todo s ♣️ {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s E P ( ♣️ [ Y t − Y s ] χ F ) = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} ♣️ em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como ♣️ Y s = E P ( Y t | Σ s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} ♣️ que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 ] É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a ♣️ filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual os valores esperados são assumidos). É possível que Y {\displaystyle Y} ♣️ seja um martingale em relação a uma medida, mas não em relação a outra. O Teorema de Girsanov oferece uma forma ♣️ de encontrar uma medida em relação à qual um processo de Itō é um martingale.[12] Exemplos de martingales [ editar | ♣️ editar código-fonte ] Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número de dimensões) é um exemplo de martingale. O dinheiro de um ♣️ apostador é um martingale se todos os jogos de aposta com que ele se envolver forem honestos. Uma urna de Pólya ♣️ contém uma quantidade de bolas de diferentes cores. A cada iteração, uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por ♣️ várias outras da mesma cor. Para qualquer cor dada, a fração das bolas na urna com aquela cor é um martingale. Por ♣️ exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e ♣️ não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração ♣️ de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo número de bolas não vermelhas alteraria. Suponha que X n {\displaystyle ♣️ X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n} moeda honesta foi jogada Considere Y n = X n 2 − n ♣️ {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle ♣️ \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada. raiz quadrada do número de vezes que a moeda ♣️ for jogada. No caso de um martingale de Moivre, suponha que a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p ♣️ {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} X n + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} ♣️ com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -} Y n = ( q / p ) X n . {\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.} Então, { Y ♣️ n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X n : n = 1 ♣️ , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,... \}} E [ Y n + 1 ∣ X 1 , . . . , ♣️ X n ] = p ( q / p ) X n + 1 + q ( q / p ♣️ ) X n − 1 = p ( q / p ) ( q / p ) X n + ♣️ q ( p / q ) ( q / p ) X n = q ( q / p ) ♣️ X n + p ( q / p ) X n = ( q / p ) X n = ♣️ Y n . {\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}} No teste de razão de verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f ♣️ {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , ... , X n {\displaystyle X_{1},... ,X_{n}} [ 13 ] Considere Y ♣️ n {\displaystyle Y_{n}} Y n = ∏ i = 1 n g ( X i ) f ( X i ) ♣️ {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}} Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 ♣️ , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ♣️ ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Suponha que uma ameba se divide em duas amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle ♣️ 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} ♣️ p {\displaystyle p} [ 14 ] Então { r X n : n = 1 , 2 , 3 , . . . ♣️ } {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}} é um martingale em relação a { X n : n = 1 , 2 , 3 ♣️ , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Uma série martingale criada por software. Em uma comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico ♣️ particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado ♣️ é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto como uma sequência de variáveis aleatórias. Esta sequência é um martingale ♣️ sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia. Se { N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} ♣️ processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { N t − λ t : t ≥ 0 } ♣️ {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}} Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas [ editar | editar código-fonte ] Há duas generalizações populares de ♣️ um martingale que também incluem casos em que a observação atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à ♣️ futura expectativa condicional E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},... ,X_{n}]} , ♣️ mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior à expectativa condicional. Estas definições refletem uma relação entre a teoria ♣️ do martingale e a teoria do potencial, que é o estudo das funções harmônicas. [15] Assim como um martingale de tempo ♣️ contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s } − X s = ♣️ 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz ♣️ a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o ♣️ operador de Laplace. Dado um processo de movimento browniano W t {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , ♣️ o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} também é um martingale. Um submartingale de tempo discreto é uma ♣️ sequência X 1 , X 2 , X 3 , . . . {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a E [ X ♣️ n + 1 | X 1 , . . . , X n ] ≥ X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}. } Da ♣️ mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ ♣️ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t . {\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em ♣️ teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o ♣️ prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X ♣️ 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} De forma análoga, um supermartingale de tempo discreto satisfaz a E [ X n ♣️ + 1 | X 1 , . . . , X n ] ≤ X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}. } Da mesma ♣️ forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s ♣️ } ] ≤ X s ∀ s ≤ t . {\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em teoria ♣️ do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo ♣️ "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 ♣️ , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} Exemplos de submartingales e supermartingales [ editar | editar código-fonte ] Todo martingale é também ♣️ um submartingale e um supermartingale. Reciprocamente, todo processo estocástico que é tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale. Considere novamente ♣️ um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara e perde $1 quando a moeda der coroa. Suponha agora que ♣️ a moeda possa estar viesada e que ela dê cara com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 ♣️ / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 ♣️ {\displaystyle 1/2} Uma função convexa de um martingale é um submartingale pela desigualdade de Jensen. Por exemplo, o quadrado da riqueza de ♣️ um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale (o que também se segue do fato de que X ♣️ n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n} Martingales e tempos de parada [ editar | editar código-fonte ] Um tempo de parada em ♣️ relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , X 2 , X 3 , ... {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},... } é uma ♣️ variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou ♣️ a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} depende apenas dos valores de X 1 , X ♣️ 2 , X 3 , ... , X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} . A intuição por trás da definição é que, a qualquer ♣️ tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência até o momento e dizer se é hora de parar. Um ♣️ exemplo na vida real pode ser o tempo em que um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ♣️ ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), ♣️ mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16] Em alguns ♣️ contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ ♣️ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X t + 1 , X t + 2 , ... {\displaystyle ♣️ X_{t+1},X_{t+2},... } , mas não que isto seja completamente determinado pelo histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} . Isto ♣️ é uma condição mais fraca do que aquela descrita no parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em ♣️ algumas das provas em que tempos de parada são usados. Uma das propriedades básicas de martingales é que, se ( X ♣️ t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, ♣️ então, o processo parado correspondente ( X t τ ) t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t ♣️ τ := X min { τ , t } {\displaystyle X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale. O conceito de ♣️ um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma ♣️ que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale em um tempo de parada é igual ao seu valor ♣️ inicial.
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